周期を求める

問題の条件
解き方
別パターン
発展

問題の条件

以下の、柱脚がピンで剛な梁で繋がった構造体の周期を求めていく。なお、梁の重さは2Mでそれ以外の重さは考えないものとする。柱の断面二次モーメントはI、ヤング係数はEとする。剛の梁というのは縮まない、曲がらないということを表わしている。

解き方

まず周期の考え方を伝えると。P(力)＝K(定数)×δ(変位)の式を作ったときにKに当たる部分が剛性定数となる。これは義務教育で習うフックの法則と同じ形である。剛性定数Kがδ動いたときにPの力が加わる。このときの周期はT＝2π√(ｍ/K)で求めることができる。

まずはこの構造物をP＝Kδの形に落とし込む。左上の端にPの力が加わる。このとき左の柱にQ_A、右柱にQ_Bのせん断力が加わっていると仮定する。このとき梁の変位がδとすると前回求めた、片持ち梁の先端に力が加わったときの変位の公式よりδ＝（Q_Aｈ³）/3EAとなる。これを無理矢理P=Kδの形に落とし込む。これよりQ_A+Q_B＝P＝(6EI/h³)×δ。よってこの構造物の剛性定数は(6EI/h³)、梁の重さ2MよりT（周期）=2π√（Mh²/3EI）となる。

別パターン

次は柱脚がどちらも剛接合となっている。よって変位の求め方が変わってくる。柱を中央で切断すると、長さ(l/2)の柱がQ_Aの力を受けてδ_A/2の変位があると考えられる。これを片持ち梁の先端荷重の変位の式に当てはめるとδ_A/2＝Q_A(h/2)²/3EIとなりδA=Q_Aｈ³/12EIとなる。あとの求め方は同じ。